日本数学家米山国藏说过：“作为知识的数学出校门不到两年就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学的精神、数学的思想、研究的方法和着眼点等，这些随时随地地发生作用，使人终身受益。”前一段时间，有一次在上课，我班有一个被我经常鼓励的学生跟我说：老师，我发现了一个悖论！题目如下：已知△ABC，作底边BC的垂直平分线l，交BC于点D，作∠BAC平分线交l于点E，过点E作EF⊥AB，EG⊥AC，如下图所示：然后学生继续说，于是我发现啊，AB，AC无论何时都是相等的！证明如下：∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，∴EF=EG，?AEF≌?AEG，∴AF=AG；∵l垂直平分BC∴，BE=CE，∴Rt?BEF≌Rt?CEG（HL），∴BF=CG，∴AB=AC。等等！一定是哪里出了问题！可到底是哪里出了问题呢？我竟一时有点愣，整个证明过程似乎无懈可击…想想看，你觉得是哪一步出了问题呢？俗话说嘛，车到山前必有路，船到桥头自然直；事出反常必有妖，邪乎到家必有诈。我决定去抓抓这个妖。既然整个证明过程找不出任何漏洞，那必然是我的出发点就错了。所以，我决定从重新画图开始。这一重新尺规作图，我就发现问题所在了，看下图：好家伙，原来角平分线与垂直平分线的交点不在△ABC的内部！那么，这个交点E是恰巧对于这个三角形来说在外部呢？还是说对于任意三角形来说都是如此呢？于是我试了各种三角形，发现点E均在三角形外部（AB=AC的等腰三角形除外，显然等腰三角形的交点E即为点D）：虽然通过作图可以直观地感受到此交点在外部，但还是要经过严格的论证才可。于是我回到了原图，我只需要证明当点E是直线在△ABC（AB≠AC）内部那段上的一点时，EF≠EG即可。∵AB≠AC，∴∠ABC≠∠ACB，∵l垂直平分BC，∴BE=CE，∴∠3=∠4，∴∠1≠∠2，而EF=BE?sin∠1，EG=EC?sin∠2，∴EF≠EG。至此，问题得证。这个例子充分说明了几何图形的优点与缺点：数学图形可以非常直观地将问题呈现在我们面前，对我们解决问题很有帮助；但是单有图形无法呈现本质特征，也就丧失了数学的严密性。几何图形的形状、大小及位置的判断，常常是需要依赖于数与式的关系与变换的。所以就有了数学家华罗庚先生著名的诗句：数无形时不直观，形无数时难入微。数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。数是形的抽象概括，形是数的直观表达。数形结合思想主要是指将数（量）与（图）形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。数与形是有联系的，这个联系称为数形结合或形数结合，作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。很多问题，仅从代数角度考虑，很难入手，如果借助图像的直观性将抽象的数学概念、复杂的数量关系具体化、形象化，给人以直观的感受，那么很多难题都将迎刃而解。数形结合的思想，在数学的几乎全部的知识中，处处以数学对象的直观表象及深刻精确的数量表达这两方面给人以启迪，为问题的解决提供简捷明快的途径。它的运用，往往展现出“柳暗花明又一村”般的数形和谐完美结合的境地。华罗庚先生曾作过精辟的论述：“数与开形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直觉，形少数时难人微，数形结合百般好，隔裂分家万事非。切莫忘，几何代数统一体，永远联系切莫离。”利用数学结合思想解题的关键是明确“数”、“形”之间的紧密联系，“数”问题可利用“形”去解决，“形”的问题可利用“数”去解决。数形结合解题基本思路：“数”和“形”是数学中两个最基本的概念，每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述。数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，在解决代数问题时，想到它的图形，从而启发思维，找到解题之路；或者在研究图形时，利用代数的知识，解决几何的问题。实现了抽象概念与具体图形的联系和转化，化难为易，化抽象为直观由数思形、形思数、数形结合来解决具体数学问题。温馨提示注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案。将“数”字化为图“形”，或能从“图”形中获取有用的解题“数”字，是数形吉合思想的关键所在。在初中代数中，数形结合主要应用在方程与不等式、几何相关、综合应用等方面。类型1利用数轴将代数问题转化成几何图形问题例1．已知a＞0，b＜0，且
a
＜
b
，试比较a、﹣a、b、﹣b的大小．由于a＞0，b＜0，则a在原点的右边，b在原点的左边，又
a
＜
b
，知a离原点的距离小于b离原点的距离，在数轴上表示出a，b，再根据一对相反数在数轴上的位置特点：分别在原点的左右两边，并且离开原点的距离相等，在数轴上又可以表示出﹣a，﹣b，最后根据在数轴上表示的数，它们从左往右的顺序，就是它们由小到大的顺序，从而得出结果．：∵
a
＜
b
，a＞0，b＜0，∴a、b、﹣b、﹣a表示在数轴上如图所示：∴b＜﹣a＜a＜﹣b；故答案是：b＜﹣a＜a＜﹣b．例2．阅读下面材料，回答问题距离能够产生美．唐代著名文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无．当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道：“世界上最遥远的距离不是瞬间便无处寻觅而是尚未相遇便注定无法相聚”距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB．（1）当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，AB＝OB＝
b
﹣
a
＝b﹣a＝
a﹣b
．（2）当A，B两点都不在原点时，①如图2，点A，B都在原点的右边，AB＝OB﹣OA＝
b
﹣
a
＝b﹣a＝
a﹣b
；②如图3，点A，B都在原点的左边，AB＝OB﹣OA＝
b
﹣
a
＝﹣b﹣（﹣a）＝a﹣b＝
a﹣b
；③如图4，点A，B在原点的两边，AB＝OA+OB＝
a
+
b
＝a+（﹣b）＝a﹣b＝
a﹣b
．综上，数轴上A，B两点的距离AB＝
a﹣b
，如数轴上表示4和﹣1的两点之间的距离是5．利用上述结论，回答以下三个问题：（1）若表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝________；（2）若数轴上表示数a的点位于﹣2与5之间，则
a+2
+
a﹣5
的值为________ ；（3）若x表示一个有理数，且
x﹣1
+
x+3
＞4，求有理数x的取值范围；（4）若未知数x，y满足（
x﹣1
+
x+3
）（
y+1
+
y﹣2
）＝12，求代数式x+y的最小值和最大值．剩余32%未读立即解锁专栏，阅读全文