作者简介：年小学一年级接触股票，青少年时学习过电台播音主持。作者中小学的理想是成为股票基金经理，后来留美多年，毕业于密苏里州立大学金融工程系与会计系，乔治华盛顿大学金融系，在高校里学习十年整，留学期间以专业第一名获全额奖学金（GRE满分），美国注册会计师。回国后在券商从事投研工作五年，获得过新财富分析师，目前主要从事以股票与衍生品为核心的股票投资策略体系研究。作者写这个证券研究连载，目前主要为了希望自己感情较为顺利。
前言：
这几天朋友从南通来，约着晚上下班后吃海底捞。服务员给我们介绍菜的时候，讲述说某某牛肉需要煮30秒，某某鹅掌需要煮6分钟。
实际上我们吃火锅时显然也不太可能掐表把时间算的这么准，所以牛肉煮2分钟也正常，鹅掌放在锅里煮上10分钟也正常。从节省能源的角度上，显然并不需要煮那么久。
当然吃饭的时候谁也不会计较这些额外的能耗，但是，最近我看到几篇报告，他们的标题是“抄公募基金作业”，其投资思路是公募基金买什么股票，他们就买什么股票。那么这种方法会盈利么？
我自己的看法是，这件事情就像海天酱油的工厂一样，由于酱油薄利多销，需要将供应链每个环节做细致，海天的物流配送系统现在可以让运输车在固定的时间与地点拉送货物，而以前运输车可能要在仓库外等很久。也就是说，海天的信息系统定量做的更好，更有效率。
同样的，对于A股来讲，A股投资也同样是利润微薄（面对产业资本的减持，以及各种资本的进入），量化系统可以让A股交易更有效率，那些布林线、MACD、均线系统指标也可以更好的应用在量化系统中。其中最为基础的量化指标，我认为是市场的稳定性，也就是这篇文章中要讲述的历史波动率和隐含波动率。这是因为我们A股在数学基础是一个风险中性的市场，其稳定性是最为基础的。（我们会在后面的文章中讨论风险溢价的问题，那个问题在赫尔的《期权、期货及其它衍生品》的鞅与测度中会谈到，现在我们先从基础写起）。
在莫琳.奥哈拉所写的《市场的微观结构理论》中，她讲述到在年美国股市出现了崩溃，暴露出市场的脆弱性，在此之后人们就开始重视整个美股市场结构的稳定性。同样的在A股市场里，年出现了股灾，所以在A股里衡量市场稳定性的指标同样重要。
年股市崩盘以后，纽约证券交易所制定了限制价格波动的规则，也就是众所周知的“短路机制”（circuitbreakers）。当市场波动较大时，这些规则将会限制交易行为。这些规则包括：当道琼斯工业平均指数比前一日收盘下降点时，所有的股票交易将暂停一小时；当下降达到点时，所有的股票交易将停止两小时。在这种情况下，例如年，在96.4%的交易中，价格变化幅度只有12.5%或者更小。
A股在年出现股灾后，A股指数也长期出现了波动率较小的现象，这其中有两个重要的原因，第一个原因是A股整体赢利性不强，股价弹性弱，第二个原因是A股涨跌幅受到严格的控制，限制其暴涨暴跌。即A股指数会在固定的中枢水平基准线之间运动，我认为这几条重要的中枢水平基准线应当相隔70-90点之间，分别为：、、、、、、、、、、、。而根据历史波动率的计算，每一次超过两条水平基准线，则A股会因为保持信息系统稳定性的缘故，在A股指数上出现了反向的走势。
我在这篇文章重点探讨了三个问题，第一是如何通过看涨期权推出看跌期权，第二是如何计算历史波动率，第三是讲述了隐含波动率的数学计算方法。我尽量将数学公式的推导方法详细的写出来，以便于为后面的证券研究连载量化部分打好数学基础，这篇文章全文共计1.1万字。
第一部分、由期权平价公式计算欧式看跌期权
在上一篇系列连载中，我讲述了看涨期权的计算公式，我们现在推导具有同样执行价格与期限的欧式看跌期权。考虑下面两个组合A与C:
组合A:一份欧式看涨期权加上在时间T收益为K的零息债券。
组合C:一份欧式看跌期权加上1股股票。
在组合A中，在时间T零息债券的价值为K。在时间T下，如果STK，投资者行使看张期权，组合A的价值为ST。如果STK，期权到期时价值为0，这时组合A的价值为K。因此，在T时刻，组合A的价值为：
max(ST,K)
在组合C中，如果STK，在到期时组合C里的期权会被执行，组合C的价值变为K；如果STK，在到期时，期权价值为0，C的价值为ST，因此在T时组合C的价值为：
max(ST,K)
我们仍然假设股票不支付股息，看涨期权与看跌期权具有相同的执行价格K与期限T。
赫尔在《期权、期货及其它衍生产品》中总结了上面这张表格：当STK时，在时间T，两个组合的价值均为ST；当STK时，在时间T，两个组合的价值均为K。换句话说，在时间T，当期权到期时，两个组合的价值均为
max(ST,K)
由于组合A及组合C中的期权均为欧式期权，在到期日之前均不能行使，因此两个组合在时间T有相同的收益，从而组合A和组合C在今天必须有相同的价值。否则如果不是这样的话，套利者可以买入便宜的组合，而同时卖空较贵的组合。由于两个组合在时间T将会相互抵消，因此这种交易策略将会锁定无风险套利，数量等于两个组合价值的差。
组合A中期权和债券在今天的价值分别为c和，组合C中期权和股票在今天的价值分别为p和S0，因此c+=p+S0就是所谓的看跌看涨-平价关系式(put-callparity)。
由看涨-看跌期权评价关系式c+=p+S0，可以得到p=c+-S0
根据布莱克-斯科尔斯期权定价公式：
将c代入p得：
已知
则上式变为：
这样我们就得到了p的价值。
第二部分、波动率的计算方法与意义
A股目前处于金融市场发展的早期，到年以后，A股整体的ROE才差不多能够达到10%这样一个相对较高的水平。然而即使在年，A股高ROE的公司过于稀缺也仍然是一个长期的问题。在年底，两市当时上市公司已经超过家，然而统计结果显示，两市连续三年以上ROE在15%以上的公司只有家，而ROE连续三年在20%以上的公司数量更是仅有36家，且最近几年中高ROE公司数量并没有明显增加。
15%的ROE实际上并不是一个非常高的要求，年美股市场中标普的平均ROE在14.6%左右（全部A股的ROE在9.8%，剔除金融后大约在8.9%左右）。A股家上市公司中连续三年ROE达到15%的公司数仅百余家，这显示出具有高盈利能力的上市公司在A股市场中非常稀缺。A股一些上市公司股价上涨（例如科技股），也主要是因为高估值的原因，而不是高ROE的原因。即使A股找到了高估值的合理性，顶多也就是不跌的意思，高估值下要想股价要继续上涨也做不到。因为高估值下大股东和上市公司一定会去想办法配股增发，想尽办法融资，也就是圈钱。
在这种情况下，A股在年到年之间相当长的一段时间里是符合年代初布莱克斯科尔斯模型当中风险中性的世界里，股票的整体收益率等于无风险利率r的情况。
在赫尔的《期权、期货及其他衍生产品》一书中的第十三章二叉树，他指出随着风险偏好的变化股票的期望收益率会变化，但其波动率仍然会保持不变。这个结论使得我们可以推论在A股中由于A股整体期望收益率较低，其波动率又保持不变。因此A股是一个运用波动率交易效果更好的市场，反映在技术分析上，就意味着股价会在空间上符合一些固定的规律，这种固定的规律可以被称为A股指数上涨比率u或下跌比例d，也可以被认为是中枢水平基准线。总之，A股相比于目前的美股，更接近一个风险中性的世界里股价运行的轨迹。
在布莱克斯科尔斯模型诞生的年代初，金融学家认为在每一个投资者都是风险中性的世界里，所有投资的期望收益率均为无风险利率r，原因是对风险中性的投资者而言，不需要额外的回报而使他们承受风险。另外，在一个风险中性的世界里，任何现金流的现值都可以通过对其期望值以无风险利率贴现得到。因此，在假设世界是风险中性时，能够大大地简化对衍生品产品的分析。当然我们今天的投资者也可以提出新的改进，同样是在赫尔的《期权、期货及其他衍生产品》一书中的第28章鞅与测度中，当我们从具有一组风险偏好的世界转换到具有另一组风险偏好的世界时，变量的期望收益率会变化，但其波动率保持不变。这就使得我们得出一个推论，即使A股以后也像美股一样，随着高ROE公司的增多，投资者的风险偏好会提升。
然而即使不再是年代美国股市或者年代中国股市的那种风险中性世界时，随着风险偏好的提升，股市的期望收益率也会提升，然而其波动率会仍然保持不变，这在理论上就告诉我们，研究A股总量时，波动率的研究比风险偏好更加重要和基础，由此也可以得出在股票交易研究中，以波动率为代表的技术分析研究要比以财务分析为代表的风险偏好研究更重要。
2.1、历史波动率的计算方法
股票的波动率σ用于度量股票收益所产生的不确定性。股票的波动率通常介于15%到60%。股票价格的波动率可以定义成按连续复利时股票在1年内所提供收益率的标准差。
当△t很小时，近似地等于在△t时间内股票价格变化百分比的方差。这说明近似地等于在△t时间内股票价格变化百分比的标准差。例如，一家公司股票的价格为50美元，波动率σ=0.3，即每年30%。对应于每周价格百分比变化的标准差近似地等于
在1周内股票价格有一个标准差的变化为50×0.，即2.08美元。由标准差描述股票价格变化不定性的增长速度大约为时间持有期长度的平方根，例如，股票价格在4周内的标准差大约为股票价格在1周内标准差的两倍。
我们用一个实例来讲述波动率的计算方式，为了以实证的方式估计股票价格的波动率，对股票价格的观察通常是在固定的区间内(如每天、每周或每个月)。定义n+1：观测次数；第i个时间区间末的股票价格，i=0，1，…，n；时间区间的长度，以年为单位。ui为连续短期时间期望收益率。
令
标准差的估计值s为：
其中为的均值。
在下面的事例中，给出了在21个连续交易日里的股票价格序列。这时n=20。
日收益率标准差的估计值s为：，即1.%。
年化波动率（标准误差大约为），其中s为日化波动率。假设每年有个交易日，，以上数据给出的每日波动率估计值为每年，即19.3%。估计值的标准误差为即每年3.1%。
2.2、运用期权定价模型计算隐含波动率的方法
在系列连载篇中，我们重点讨论了布莱克斯科尔斯的期权模型数学构造，这个模型里证实了下面的关系：上升的波动率、较高的股票价格、或者离到期更多的时间、无风险利率会上涨等，都意味着更高的看涨期权价格。事实上，布莱克在年就认为看涨期权的价格在无风险利率上升的时候会上涨（看跌期权的价格会下跌）。
在上一部分里计算历史波动率实际上是年化标准差，这种历史波动率由于包括的时间阶段太长，因此用年化标准差来表达市场稳定性是不准确的。我们更